线性代数1(2021.10.27)

1.置换矩阵[一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个1，每一列恰有一个1，其余系数均为0]

[注意区别置换矩阵和转置矩阵，两者关系：置换矩阵的逆等于其转置，即 $P^{-1}$ = $P^{T}$ ]

{置换矩阵是单位矩阵的延伸版，是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到的矩阵,其必然为正交矩阵[若A $A^{T}$ =E或 $A^{T}$ A=E,则称n阶实矩阵为正交矩阵(其中 $A^{T}$ 表示A的转置矩阵，E为单位矩阵)]}

[通过单位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易]

“左行右列”

（1）交换 $r_1{}$ , $r_2{}$ (行交换~左乘）

$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} c & d\\ a& b \end{bmatrix}$

P(置换矩阵）P中[0 1]表示0个 $r_1{}$ ,1个 $r_2{}$ ,即得到[c d]

（2）交换 $c_1{}$ , $c_2{}$ (列交换~右乘)

$\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} b&a \\ d &c \end{bmatrix}$

P(置换矩阵）P中[0 1]表示0个 $c_1{}$ ,1个 $c_2{}$ ，即得到[b d]

2.关于运算

(1)消元（每个台阶的第一个元素称为主元)

[0不能做主元，若0占据主元位置，0下面有非0元素，则可进行行交换(暂时性失效)]

（2）a.结合律成立(即括号可以移动)，交换律不成立(即乘法顺序不能改变),因而除非两者可以交换，否则不满足完全平方公式和平方差公式

b.减多少就加多少回来

（3）矩阵内部元素表示含义

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\3 &1 & 0\\0 &0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3 & 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}=$ $=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A^{-1}$ A I(单位阵,也可用E表示,并无差别)

$A^{-1}$ 中 $r_1{},r_3{}$ 表示A的 $r_1{},r_3{}$ 各乘以1分别得到I中的 $r_1{},r_3{}$ ， $A^{-1}$ 中 $r_2{}$ 表示A的3 $r_1{}$ + $r_2{}$ 得到I中的 $r_2{}$

3.矩阵乘法(矩阵相乘不一定要是方阵，若是方阵，则大小必须相同；若不是方阵，则大小不同，但须满足特定格式： $A_{m*n}*B_{n*p}=C_{m*p}$ )

AB=C

（1）常规方法(求和公式） $c_{34}=row3ofA*colum4of B=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+...=\sum_{k=1}^{n}a_{3k}b_{k4}$

(2)列方法(将B看作p个单独的列向量，C中各列是A中各列的线性组合~A*向量，B中的元素相当于表明这是怎样的线性组合）

$AB_{c_1{}}=C_{c_1{}}$

(3)行方法(与列方法相似，注意左行右列即可）

$A_{r_1{}}B=C_{r_1{}}$

(4)列*行

$A_{c_1{}}B_{r_1{}}+A_{c_2{}}B_{c_2{}}$

(行空间即行所有可能的线性组合）

(5)分块矩阵(分块乘法法则）

4.逆

$A^{-1}A=I=AA^{-1}$ (对于方阵而言，只要A有逆，左逆右逆都可以 ;

左逆单位阵右逆而非方阵因为形状不同无法相乘，左逆并不等于右逆)

(1)奇异矩阵(没有逆)

判定方法：a.行列式 $\left | A \right |=0$ （常用) $\begin{bmatrix} 1 & 2\\3 &6 \end{bmatrix} A$ b.假设AB=C，C中各列为A中相应列的倍数，

$\because$ A中两列共线(向量角度)，所有的线性组合均在此条直线(1,3)上

而(1，0）不在其上，则 $I\begin{bmatrix} 1 &0 \\ & \end{bmatrix}$ 不可能是A这些列的线性组合

$\therefore$ C不是单位阵，A是奇异矩阵

$\exists$ 非零向量X，使得AX=0，这样的矩阵A没有逆

$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 &6 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} 2\\6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$ (如果其中一列对线性组合毫无贡献，矩阵 3个 $c_{1}$ 加上-1个 $c_{2}$ 不可能有逆)

假设 $A^{-1}(AX)=X$ ,又 $A^{-1}(AX)=OA^{-1}=0$ , $X=\begin{bmatrix} 3\\-1 \end{bmatrix}\neq 0$ $\therefore$ 假设不成立

结论：不可逆(奇异)矩阵其列能通过线性组合(非零向量X)得到0

(若左乘其逆，则X=0,所以不成立)

(2)非奇异矩阵(可逆)

判定方法：a.行列式 $\left | A \right |\neq 0$

$\begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix} A$ b.各列的方向不同，组合能得到任何向量

$\begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a &c \\b &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 &1 \end{bmatrix}$ $AA^{-1}_{c_{1}}=I_{c_{1}}$ $AA^{-1}_{c_{2}}=I_{c_{2}}$

A $A^{-1}$ I (求逆~解2个方程组)