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前言

因为笔记主要仅供自己复习整理，所以很多地方以文字形式表述晦涩难懂，给读者带来了不便请谅解。

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提示：以下是本篇文章正文内容，供参考

一、行列式

逆序数N（n（n-1）（n-2）…3 2 1）=n（n-1）/2

定理1.1.1：对换，改变奇偶

定理1.1.2：奇偶排列数量均为n！/2

山寨上三角、下三角、对角型行列式：符号（-1）的n（n-1）/2次方

行列式的性质

行列式性质1：D（T）=D
行列式性质2：两行互换，变号
行列式性质3：两行相等，D=0
行列式性质4：D的某行x K，则等于K x D
行列式性质4的推论：n阶行列式D的每一行同乘x K，则等于K的n次方 x D
行列式性质5：两行成比，D=0
行列式性质6：其中一行按和展开，其余行不变
行列式性质7：某行 x K 加到另一行，则D不变

代数余子式

余子式M：划掉M所在的行列，余下的行列式
代数余子式A：（-1）的A所在行列的值之和次方 x M
展开式：D=∑（1 to n）a1j x A1j （按第一行展开）

异乘变零定理：

∑某行元素 x 另一行元素的代数余子式 = 0
（后面伴随矩阵相关会用到）

定理1.1.3：拉普拉斯展开定理

任意取定K行，由K行元素组成的所有非零K阶子式与其对应的代数余子式乘积之和=D
（此处代数余子式的符号等于（-1）的取的行和列的值之和的次方）

基本结论：

应用：

分块矩阵的逆的求解：

行列式的计算：

1.上三角（easy）
2.求某行余子式或代数余子式之和，则构造新的行列式**（桓桓解析：因为余子式和代数余子式求的是把这个元素所在的行列划掉留下的行列式，和这个元素无关，所以这个元素可以根据所要求的结果任意构造，构造完毕后按0少的行展开求行列式的和即可）**

3.制造行和

4.加边法（构造爪型）

5.范德蒙德

反对称/对称行列式

（重点：奇数阶的反对称行列式的值为0，证明：几阶行列式就提取几次-1，可得D= - D（T）又因为D=D（T），则D=0）

（为了给后面的反对称/对称矩阵作铺垫）

克莱姆法则：

克莱姆法则-齐次方程组

齐次方程组：常数项都为0的方程组

此处推广一下，

（桓桓解析：n个n维向量构造的行列式是D（即便是行向量，也按列排列，列向量则按列排列），将行列式以齐次方程组的角度去看，D≠0，说明系数行列式≠0，而齐次方程组的常数项都为0，则D1,D2…Dn都为0，则该方程组所有未知量都＝0，即方程组只有零解，此处未知量看作系数k更好理解，这说明什么呢，说明k1a1+k2a2+…+knan=0时，只有当k1，k2，…，kn都＝0时该式子才成立，即这n个向量线性无关，而D=0代表有非零解，那么说明向量组中至少有一个向量可由其他向量来表示，即线性相关）

二、矩阵

矩阵的运算：

矩阵的转置：

特殊矩阵：

1.数量矩阵

2.对角型矩阵

3.对角型乘法的例子

（桓桓解析：首先左乘行，右乘列。拿第一个左乘举例，其相当于
E（1（k1））x E（2（k2））x E（3（k3））x A ）

4.三角形矩阵

5.对称矩阵

（桓桓解析：对称矩阵A(T)=A,而一般矩阵A(T)(T)=A。 定理1详细说明：矩阵A和B是同阶的对称矩阵，如果AB相乘还是对称矩阵，则其充要条件是A,B可交换，即(AB)(T)=AB充要条件是AB=BA）
证明如下
→ AB=(AB)(T)=B(T)A(T)=BA 即AB=BA
← AB=BA=B(T)A(T)=(AB)(T) 即AB=(AB)(T)

6.反对称矩阵

方阵的行列式性质

伴随矩阵的定义

定理2.4.1及其证明（永远成立）

推论2.4.1及其证明（永远成立）

伴随矩阵的总结

逆矩阵的定义

逆矩阵的性质

方阵A可逆的充要条件

定理2.4.2的推论及其证明：

伴随矩阵法求逆矩阵（很少用）

逆矩阵题型

标准型：

对角型分块矩阵运算

分块矩阵求转置

初等变换

初等方阵

定理2.6.2

定理3

定理3的推论及：

定理4

（桓桓解释：首先所有矩阵都可以化为标准型，方阵A可逆所以A的行列式值≠0，所以A的标准型是E，因为只有E主对角线上没有零）

定理5

初等行变换法

判断A是否可逆

矩阵的秩

k阶子式的定义：

矩阵的秩的定义：

定理2.7.1

阶梯型矩阵

行简化阶梯型矩阵

定理2.7.2

秩的性质

（桓桓解释：A是可逆矩阵，则代表A是方阵且A的行列式值≠0，所以它可以通过乘以一系列初等矩阵化成E，而初等矩阵均可逆，PAQ=E→P逆PAQQ逆=P逆EQ逆→A=P逆Q逆）

三、向量

例3.1.1

线性组合/表示

向量组等价的定义

线性相关

线性无关

线性相关定理1

定理2

替换定理

极大无关组

定理3.3.2

向量组的秩

行秩和列秩

定理3.3.5

定理3.3.6

例子

（桓桓解释：
①矩阵的秩=标准型中1的个数，矩阵A通过初等行/列变换化为标准型D，则矩阵A和D是等价的，所以它们的秩相等，标准型中1的个数就是秩的个数，从向量角度可以理解为基向量的个数。
②矩阵的秩=阶梯型矩阵中非零首元的个数=非零行的个数=行秩，矩阵A通过初等行变换化成阶梯型矩阵，从k阶子式角度考虑取非零首元元素构成的k阶子式一定不为零，这是根据秩的定义求的，那么从线性方程组的角度考虑，阶梯型矩阵按系数排列成齐次方程组，显然每一个方程都有它的意义，无法被其他方程替代，尽管不一定能求出所有未知数，但秩的多少表明了有意义方程的数量，从行向量角度考虑，非零向量的行向量之间必然线性无关，即每个行向量都是有意义的，非零行向量的个数即行秩即矩阵的秩。
③矩阵的秩=列秩，由于初等行变换不会改变矩阵列向量之间的线性关系，所以把矩阵A通过初等行变换化为行简化阶梯型矩阵，列向量之间的线性关系是不变的，原来各个列向量前的系数是多少，改变后其对应系数就是多少，那么改变后的首1元所在列就相当于基列向量，通过在基列向量前加系数，它们能表示后面的其他任何列向量，所以只有基列向量是有意义的，也就是基列向量的个数即列秩即矩阵的秩）