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【算法设计与分析】回溯法解决运动员配对问题(课程设计)

2022/1/2 13:33:44

回溯法解决运动员配对问题

摘要

针对运动员最佳配对问题,本文利用回溯法寻求竞赛优势得分最优解,研究男女运动员最佳配对法,使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。针对这一问题,本题采用的是男运动员选女运动员的方法,构成了一棵排列树。树的结点表示女运动员,排列树的层数表示男运动员,经过算法处理后,输出符合最优值的编号。算例结果显示:男1号和女1号组合、男2号和女3号组合,男3号和女2号组合,竞赛优势最大。该算法简便、易懂,又有比较好的实用性和技巧性。

1、问题描述

羽毛球队有男女运动员各n 人。给定2 个n×n 矩阵P 和Q。P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势;Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势。由于技术配合和心理状态等各种因素影响,P[i][j] 不一定等于Q[j][i] 。男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]*Q[j][i] 。设计一个算法,计算男女运动员最佳配对法,使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。

2、问题分析

该问题输出为男女人员的搭配问题,由于运动员不能重复选择,因此,此问题的解空间树是一个排列树,可以使用排列树回溯法模板进行算法设计。
假设n为羽毛球队有男女运动员数量,P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势;Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势
本题采用的是男运动员选女运动员的方法,这样就构成了一棵排列树。G表示女运动员,排列树的层数表示男运动员。
下面考虑剪枝函数,因为当人员没有选完时,不确定最终结果是否优于最优解,所以回溯过程中不需要剪枝函数进行剪枝,只有当一条分支运行到叶子结点时,才需要判断可行解于最优解的关系,考虑是否更新最优解。
最后考虑输出结果,输出结果应该时是包含运动员编号的集合,用x[i]表示,原数组存放初始编号,经过算法处理后,输出符合最优值的编号。

3、算法设计

首先将第 i 位男运动员与第 j 位女运动员的优势计算到二维数组j[ i ][ j ] 中,然后再在这个二维数组选 n 个组合(组合即对应每个点(i , j)),要求 n 个点不可同行或同列,将 n 个这样子符合条件的点求和,记录最大值。
第 i 层回溯对应第 i 位男运动员,该层回溯中应该选取一位没有被选择过的女运动员。为了记录女运动员是否被选择过,我们创建数组 x[ i ] 来记录,依次累加每一层的优势。当 i > n 时即为回溯的终点,此时更新最大的优势和。

4、程序代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int if_OK(int c[], int K){  // 判断是否为一个解
int i,flag;
int arr[21] = {0};
for(i = 1; i <= K; i++){
arr[c[i]] += 1;
    }
    for(i = 1, flag = 1; i <= K; i++){
        if(arr[i] != 1){
            flag = 0;
            break;
        }
    }
    return flag;
}


int is_part(int c[], int K){ // 判断是否为部分解
    int i, flag;
    int arr[21] = {0};
    for(i = 1; i <= K; i++){
        arr[c[i]] += 1;
    }

    for(i = 1, flag = 0; i <= K; i++){ // 这里与 if_OK 有区别
        if(arr[i] > 1){  
            flag = 0;
            break;
        }
        else if(arr[i] == 0){
            flag = 1;
        }
    }
    return flag;
}

int func(int c[], int f[21][21], int K){ // 计算该解情况下,男女运动员竞赛优势的总和
    int i, count = 0;
    for(i = 1; i <= K; i++){
        count += f[i][c[i]];
    }
    return count;
}

int main()
{    int i, j;
    int N;
    scanf("%d", &N);

    int p[21][21], q[21][21], f[21][21]; // p 记录男运动员的竞赛优势、 q记录女运动员的、 f是男女运动员匹配后的 。并且数组都是从 1开始的。
    for(i = 1; i <= N; i++){
        for(j = 1; j <= N; j++){
            scanf("%d", &(p[i][j]));
        }
    }
    for(i = 1; i <= N; i++){
        for(j = 1; j <= N; j++){
            scanf("%d", &(q[i][j]));
            f[j][i] = q[i][j] * p[j][i]; // 注意此处f、 p、 q的数组下标 !!!
        }
    }

    int com[21] = {0}; // 用来记录男女队员的匹配, com【i】中的 i 代表男队员、com【i】代表女队员
    int k = 1, tmp = 0, count = 0; //k队员编号,tmp是当前解的优势值, count是最优的优势值

    while(k >= 1 && k <= N){ // 注意 k <= N
        while(com[k] <= N){
            com[k] = com[k] + 1;
            if(if_OK(com, N)){ // 表示该com【】为一组解
                tmp = func(com, f, N);
                if(tmp > count) count = tmp; // 记录最优解
                break;
            }
            else if(is_part(com, N)) k = k+1; // 部分解
        }
        com[k] = 0;
        k = k-1;
    }

    printf("%d" , count);
    return 0;
}

5、运行结果

假设n为羽毛球队有男女运动员数量,P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势;Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势
在这里插入图片描述
本题采用的是男运动员选女运动员的方法,这样就构成了一棵排列树。G表示女运动员,排列树的层数表示男运动员。如第一层的G1=20表示,男运动员1号选女运动员1号的男女双方竞赛优势为20。
在这里插入图片描述

6、运行结果分析

输出结果应该时是运动员编号的集合,用x [i]表示,原数组存放初始编号,经过算法处理后,输出符合最优值的编号。
由排列树和输出结果可知,采用男运动员选女运动员的策略,其解空间是{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}竞赛优势最大为20+20+12=52,最优集合编号为x={1,3,2},即男1号和女1号组合、男2号和女3号组合,男3号和女2号组合,竞赛优势最大。时间复杂度分析:算法要动态的生成排列树,在每个节点处花费O(1)的时间,排列树中结点的个数为n!,因此,算法的时间复杂度为O(n!)。